\documentclass{ctexart}
\usepackage{listings}

\title{code report of chapter five}
\author{谢飞扬\\  信息与计算科学 3210104010}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\abstract{前言}
\noindent 本次作业用python实现，可以使用命令‘make run’或者‘python main.py’调用程序\\

\section{problem A}
\noindent 使用normal equation求解离散最小二乘问题，根据题目内积得到系数矩阵G和右端项，求解得到系数\\
得到的二次多项式系数为: a0 = 2.175719932241713, a1 = 2.670413385241739, a2 = -0.2384439359267715\\


\section{problem B}
\noindent 使用QR分解求解离散最小二乘问题\\
得到的二次多项式系数为: a0 = 2.1757199322416745, a1 = 2.6704133852417606, a2 = -0.23844393592677351\\
系数矩阵G的条件数: 18980.89428414493\\
系数矩阵R1的条件数：137.77116637433429\\
显然QR分解的条件数有更小的条件数，对右端项的扰动有更好的稳定性\\

\section{problem C}
\noindent prove:在提交的理论作业题上\\
使用高斯消去求解$\alpha$，由程序输出的表格可以看出$\alpha_j$收敛至$(-1)^j$\\
对比使用机器精度得到的ln2和相对误差为$10^{-5}$的ln2，方程组时的右端项受到了扰动，又因为Hilbert矩阵的条件数很大，且与n为正相关，
所以得到的$\alpha$的相对误差会很大。\\
观察Tikhnov正则化求解的结果，可以看出$\alpha_0$和$\alpha_1$分别收敛至1和-1\\
程序结果如下,第一行为机器精度ln2求解结果，第二行为相对误差为$10^{-5}$的ln2的求解结果，第三行为Tikhnov正则化求解的结果：\\

\begin{lstlisting}[breaklines=true]
n=1    0.931472   -0.476649 
n=1    0.931500   -0.476700 
n=1    0.931500   -0.476700 
n=1 ,the condtion number of H is 19.28147006790397
n=2    0.986039   -0.804050    0.327400 
n=2    0.986250   -0.805200    0.328500 
n=2    0.986248   -0.805191    0.328491 
n=2 ,the condtion number of H is 524.0567775860644
n=3    0.997279   -0.938929    0.664599   -0.224799 
n=3    0.998733   -0.955000    0.703000   -0.249667 
n=3    0.998416   -0.951424    0.694393   -0.244072 
n=3 ,the condtion number of H is 15513.738738928138
n=4    0.999483   -0.983022    0.863017   -0.533448    0.154325 
n=4    1.009083   -1.162000    1.634500   -1.698667    0.724500 
n=4    0.994862   -0.893607    0.471413    0.063104   -0.139109 
n=4 ,the condtion number of H is 476607.25024172297
n=5    0.999904   -0.995633    0.951295   -0.768857    0.419160   -0.105934 
n=5    1.061700   -2.740500   12.684000  -31.164000   33.873000  -13.259400 
n=5    0.995676   -0.908099    0.523036    0.024775   -0.182562    0.044980 
n=5 ,the condtion number of H is 14951058.64080515
n=6    0.999982   -0.998938    0.984346   -0.901063    0.667044   -0.324073    0.072713 
n=6    1.391250  -16.581600  151.095001 -584.808002 1071.955504 -926.772004  304.504201 
n=6    0.997988   -0.938697    0.582433    0.080194   -0.250541   -0.165638    0.196227 
n=6 ,the condtion number of H is 475367356.91592133
\end{lstlisting}

\end{document}
